极限 （正式定义）

请先阅读 极限入门

趋近 ……

有时我们不能直接计算某个值 …… 可是我们可以 去看看逐渐接近它时的情形！

例子：

(x2 − 1)

(x − 1)

求 x=1 的值：

(12 − 1)

(1 − 1)

=

(1 − 1)

(1 − 1)

=

0

0

0/0 不好做！没有人知道 0/0 是多少（它是"不确定的"），所以我们要另辟蹊径。

我们不直接求当 x=1 的值，我们趋近它来看看：

例子（续）：

x

(x2 − 1)

(x − 1)

0.5

1.50000

0.9

1.90000

0.99

1.99000

0.999

1.99900

0.9999

1.99990

0.99999

1.99999

……

……

现在我们看到当 x 越来越接近 1 的时候，

(x2−1)

(x−1)

越来越接近 2

这很有趣：

当 x=1，我们不知道答案（它是 不确定的）

但我们也知道答案 越来越接近 2

我们想说："2"，但我们不能这样说，所以数学家用一个特别的名词来形容这种情况："极限"

当 x 趋近 1 时，

(x2−1)

(x−1)

的极限 是 2

用符号来写就是：

我们可以这样理解： "不管在那里是多少，当 x 越来越接近 1 时答案便越来越接近 2"

在图上是这样的：

因此，实际上我们不能说当 x=1 时的值是多少。

但我们可以说："趋近 1 时，极限是 2。"

比较正式

我们不需要说："极限好像趋近一个值"，而用一个比较正式的定义。

先看一般的概念。

从语文到数学

先用语文来说：

"当 x 趋近某个值，f(x) 趋近某个极限"

当x趋近值"a"时，极限为"L"，我们可以说：

"当 x 趋近 a"，f(x) 趋近 L

计算 "近"

怎样用数学来形容 "近" 呢？…… 看看两个值的差？

例 1：4.01 − 4 = 0.01

例 2：3.8 − 4 = −0.2

嗯……负的接近？不对 …… 我们需要说的是："不管正负，我只要知道多远"，这就是 绝对值。

"多近" = |a−b|

例 1：|4.01−4| = 0.01

例 2：|3.8−4| = 0.2

|a−b| 越小，我们越近，所以我们这样写：

"当 |x−a| 小的时候，|f(x)−L| 也是小的"

这是用动画显示：

f(x) =

(x2−1)

(x−1)

当 x 趋近 a=1 时，f(x) 趋近 L=2，

所以当 |x−1| 是小的时候，|f(x)−2| 也是小的。

Delta 和 Epsilon

但 "小" 还是语文而不是"数学语言"。

我们选两个值来代表要"小于的值"：

|x−a| 要小于的值

|f(x)−L| 要小于的值

（注意：这两个希腊字母 δ （英语叫 "delta"） 和 ε （英语叫 "epsilon", ）经常用来代表这两个意思的）

我们现在可以这样写：

"当 |x−a|<，|f(x)−L|<"

就是这样！如果你明白这个你就明白极限了 ……

…… 但若要绝对精确，我们还要加上以下的条件：

1)

2)

3)

对任何>0成立

存在，并>0

x 不等于 a 的意思是 0<|x−a|

全部放在一起：

"对于任何>0，有>0，从而使得当 0<|x−a|<时|f(x)−L|<"

这就是正式的定义。很吓人，但也很酷！

但其中的精髓其实很简单：当 x 趋近 a 时，f(x) 趋近 L。

怎样在证明中应用这个定义

在证明中用这个定义，我们需要

从：

到：

0<|x−a|<

|f(x)−L|<

通常这会牵涉到求基于的合适公式。

怎样求这样的公式？

猜测和检验！

对了，我们：

不停尝试，直到找到我们认为可能管用的公式

检验公式，看看是不是真的管用。

例子：证明

用上面的字母：

x 趋近的值 "a" 是 3

极限 "L" 是 10

所以我们需要知道：

怎样从：

0<|x−3|<

得到：

|(2x+4)−10|<

一、尝试寻找可能管用的公式

开始：

|(2x+4)−10|<

简化：

|2x−6|<

把 2 移到外面：

2|x−3|<

把 2 移到另一边：

|x−3|

看上去=/2 可能管用

二、检验一下是不是真的管用。

我们可不可以从 0<|x−3|< 得到 |(2x+4)−10|< ……？

来 ……

开始：

0<|x−3|<

替代：

0<|x−3|

把 2 移到中间：

0<2|x−3|<

把 2 移到里面：

0<|2x−6|<

以 "+4−10" 代替 "−6"

0<|(2x+4)−10|<

行了！用=/2，我们可以从 0<|x−3|< 得到 |(2x+4)−10|<

大功告成！

给予 ，我们可以求，使得以下为真：

"对于任何，有，使得当 0<|x−a|<时|f(x)−L|<"

我们证明了

结论

以上是一个相当简单的证明，但希望可以使你明白这个复杂的句子： "有 …… 使得 ……"。这个例子也简单示范了怎样去处理类似的证明。

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